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重点论文网    理科论文    数学与应用数学论文    复分析中的反例
创建时间:07-15

复分析中的反例

 

目      录

   中文摘要和关键词  ……………………………………………………………………(1)
英文摘要和关键词  ……………………………………………………………………(1)
1  引言及引理  ……………………………………………………………………………(2)
2  复函数的极限和连续性  ………………………………………………………………(4) 
    2.1 在某点的去心邻域内有界而在该点无极限的复函数  …………………………………(4)
    2.2 在某点两函数都无极限,而其和(差)函数在该点有极限的复函数  …………………(4)
    2.3 在某点两函数都无极限,而其积(商)函数在该点有极限的复函数  …………………(5)
    2.4 内外函数都有极限而其复合函数无极限的复函数  ……………………………………(5)
    2.5 在某点两函数都不连续而其和(差)函数在该点连续的复函数  ………………………(6)
    2.6 在某点两函数都不连续,而其积(商)函数在该点连续的复函数  ……………………(6)
    2.7 在某点一个函数连续另一个函数不连续而其积函数在该点连续的复函数  ……………(6)
    2.8 无处连续而其绝对值处处连续的复函数  …………………………………………… (6)
    2.9 在区域上连续而无界的复函数  ………………………………………………………(6)
2.10 在区域上连续且有界而取不到最大模和最小模的复函数  ……………………………(7)
2.11 在区域上连续而非一致连续的复函数  ………………………………………………(7)
3  复函数的微分学  ………………………………………………………………………(7)
   3.1 处处连续而无处可微的复函数  ………………………………………………………(7)
   3.2 处处连续而仅在一点可微的复函数  ………………………………………………… (8)
   3.3 在某点满足C—R条件而在该点不可微的复函数  ………………………………………(8)
   3.4 关于复合函数可微性的例子  ………………………………………………………… (8)
   3.5 在一点可微而在该点不解析的复函数  …………………………………………………(9)
   3.6 在某曲线上可微而处处不解析的复函数  ………………………………………………(9)
   3.7 关于复合函数解析的例子  ……………………………………………………………(9)
   3.8 微分中值定理失效的解析函数  ………………………………………………………(10)
4  复函数的积分  ……………………………………………………………………… (11)
   4.1 绝对可积而本身不可积的复函数  ……………………………………………………(11)
   4.2 有界而不可积的复函数  …………………………………………………………… (11)
   4.3 积分中值定理失效的复函数  …………………………………………………………(11)
   4.4 积分与路径有关的复函数  ………………………………………………………… (12)
   4.5 柯西积分公式不成立的复连续函数  …………………………………………………(13)
5  复级数  ……………………………………………………………………………… (13)
    5.1 通项趋于零而发散的复级数  ……………………………………………………… (13)
    5.2 收敛而非绝对收敛的复级数  ……………………………………………………… (13)
    5.3 收敛而其Cauchy乘积级数发散的复级数  ………………………………………… (13)
5.4 对任何给定的正整数p,有 ,而 是发散的复级数  …(14)
    5.5 处处收敛而非一致收敛的复函数项级数  ……………………………………………(14)
    5.6 内闭一致收敛而非一致收敛的复函数项级数  ………………………………………(15)
    5.7 仅在一点收敛的复幂级数  …………………………………………………………(16)
    5.8 级数本身与其经逐项微分、逐项积分所得级数有不同收敛域的复幂级数  ……………(16)
6  解析函数的孤立奇点与留数  ……………………………………………………… (16)
    6.1 以某点为孤立奇点而其倒数不以该点为孤立奇点的解析函数  ………………………(16)
    6.2 以某点为非孤立奇点而其倒数以该点为孤立奇点的解析函数  ………………………(16)
    6.3 以某点为孤立奇点而其和或差或积或商却不以该点为孤立奇点的解析函数  …………(16)
    6.4 在z平面上有无穷多个孤立奇点而无非孤立奇点的解析函数  ………………………(19)
    6.5 有多个非孤立奇点的解析函数  …………………………………………………… (19)
    6.6 在z平面上仅有一个奇点且为可去奇点的解析函数  …………………………………(19)
    6.7 在z平面上仅有一个奇点且为极点的解析函数  …………………………………… (19)
    6.8 在z平面上仅有一个奇点且为本性奇点的解析函数  …………………………………(19)
    6.9 以 为可去奇点而留数不为零的解析函数  …………………………………………(19)
7  结束语  ……………………………………………………………………………… (19)
   参考文献  …………………………………………………………………………… (19)
致谢  ………………………………………………………………………………… (21)


1  引言与引理
复分析是实分析的继续和拓广,它的理论和方法,在数学、物理、理论力学、工程技术、机械设计制造等诸多学科和领域中都有着广泛的应用。复分析的理论和方法是建立在它的一些概念和结论的基础之上的,和其它学科一样,学习复分析的概念和结论往往要从正反两个方面去理解,而在绝大多数复分析书籍中,主要致力于概念的定义和某些条件下成立的结论的证明,很少谈到在另一些条件下的结论是真是伪,用来说明某些命题不真的反例很少,这不利于复分析学习的深入,因此,编写复分析中的一些反例,以弥补学习上的不足,无疑是很有益的。基于这一想法,我就选了这个课题来写作毕业论文,把我在学习过程中对这一问题的一些零碎的思考进行整理和补充,作为我学习复分析的一个小结。为了讨论的需要起见,先引入下面一些结论。
引理   设函数 在点 的去心邻域 内有定义,则 = 的充要条件是对任何含于 内且收敛于 的点列 都有 = 。
引理   设函数 在有界闭域 上连续,则
(i)   在 上必取到最大值与最小值,从而 在 上必有界;
(ii)   在 上一致连续,即对任给的 >0,存在 >0,使对任意的 ,   ,只要
 ,就有    
 
引理   设 = ,若  在点 连续且满足C-R条件: 
则  在点 可微。
引理   若 与 都是可微函数,则复合函数 也是可微函数,并且有
 。   
引理   设函数 在单连通区域 内解析, 为 内两点, 为 在 内的一个原函数,则有
 。
引理    若函数 在单连通区域 内解析,则 在 内积分与路径无关。
引理    设  + (  为实数, =1,2,3 ),则复级数 收敛的充要条件是
 

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