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创建时间:10-08

扩环的构造方法及性质


摘要


本文归纳总结了扩环的构造方法,研究了整环的扩张,整环上乘闭集的扩张,环到环上 阶全矩阵环的扩张,有单位元的交换环到多项式环的扩张,并讨论了这几种扩环的性质.
关键词:商域;素理想; 阶全矩阵环;多项式环;扩张环.


The Methods of Construct Tensioner Rings
and The Properties of these Tensioner Rings


ABSTRACT


In this paper we mainly generalized the methods of constructing tensioner rings,studied the extensions of the domain rings, the extensions of domain rings over multiplicative sets,the extensions from rings to n-by-n matrix rings,and the extensions from commutative rings with identity to polynomial ring.Morever,we also investigate the properties of such extension rings.
Key words: quotient field; prime ideal;n-by-n total matrix ring; polynomial ring;tensioner ring.
前言

   环的扩张理论是环结构理论的一个活跃分支,研究扩环的构造方法有助于对环结构的研究.参考
文献[1][2]中涉及到了一些扩环的构造,如整环的扩张及有单位元的交换环到多项式环的扩张.
本文在参考文献[1][2]的基础上归纳总结了扩环的构造方法,具体研究了整环的扩张,整环上乘闭集的扩张,环到环上 阶矩阵环的扩张,以及有单位元的交换环到多项式环的扩张.在研究整环的扩张时,证明了定理2.1.1:已知 是一个整环,那么总存在一个环 ,使得 ,其中  
 ;在研究整环上乘闭集的扩张时,证明了定理2.2.1:假如 是一个整环,  是 上的乘闭集,且含 的单位元,则存在环 ,使得 ;在研究环到环上 阶矩阵环的扩张时,证明了定理2.3.1:假定 是一个环,则 可扩张成 上的 阶全矩阵环;在研究有单位元的交换环到多项式环的扩张时,证明了定理2.4.1:给了一个有单位元的交换环 ,一定有 上的未定元 存在,因此也就有 上的多项式环 存在.
在研究扩环的构造方法的同时,本文还讨论了这些扩环的性质,如定理2.1.3:设 与 为两个整环,  与 分别为它们的商域,如果 则存在域的同构映射 使得 .定理2.4.2:假定 是整环,则 也是整环,及定理2.4.3:假定 和 都是有单位元的交换环 上的多项式环, 是 上的无关未定元, 是 上的任意元,那么 与 同态.重点得出了如下结论:(定理2.2.3) 是一个整环, 是 上的一个乘闭集,且含 的单位元,设 和 都是环同态,对一切 , 都是 的可逆元,那么存在着唯一的一个环同态 ,使得 .(推论2.2.2) 设 是一个环同态,具有以下性质:(i) 是 中的可逆元;(ii) ;(iii)  中任一元素均有形状 .那么存在着唯一的一个同构 ,使得 .以及(定理2.3.2)假定 是一个环, 是 上的 阶全矩阵环.若 有单位元,则 有单位元;即使 可换, 时, 不可换;即使 是无零因子环, 时, 也不是无零因子环.

§1预备知识

定义1.1  一个环叫做一个整环,假如:
    1.乘法适合交换律: ;
    2. 有单位元: ;
    3. 没有零因子: 或 .
其中 ,  是 的任意元.
定义1.2  一个域 叫做环 的一个商域,假如 包含 ,并且 刚好是由所有元 
 所做成的.
定义1.3   是环 的子集,称 为环 上的一个乘闭集,假如 .
定义1.4  设 是环,  是 的真理想,如果对 的任何两个理想 和 ,由 推出 ,则称 为 的一个素理想.
定义1.5   假如 是环,所有用 中的元组成的 阶矩阵形成的环,叫做 的 阶矩阵环.
定义1.6   环中与所有元可交换的全部元形成的子环,叫做环的中心.环的中心用 表示.
假定 是一个有单位元的交换环,  是 的子环,且包含 的单位元,在 里取出一个元 ,那么, 是  的一个元.
定义1.7   一个可以写成 形式的元叫做 上的 的一个多项式, 叫做多项式的系数.所有的 上的多项式放在一起作成 上的多项式环.
 上的多项式环中多项式的相等,加法及乘法运算如下:
 当且仅当 
   
其中  .
定义1.8   的一个元 叫做 上的一个未定元,假如在 里找不到不等于零的元 
来,使得 .
定义1.9   环 的子集 ,假如对于 的两种结合法形成环,那么 叫做 的子环, 叫做 
的扩张环.
引理1.1  假定 是一个环, 是一个不空集合,若 ,则 也是一个环.
(该引理可由参考文献[1]第一章第八节的定理1,2及第二章第四节的定理1直接得证.)
引理1.2   设 ,则 是整环(除环,域)的充分必要条件是 是整环(除环,域).
证明:(只对整环的情形给出证明,对除环和域的情形可相应得证.)
(必要性)设 是 到 的同构映射, 是 的单位元. 则对任意的  
  即 为 的单位元.又对任意的 , 即 为交换环.下证 无零因子:对任意的 ,若 则 因为 是单射,所以 又因为 无零因子,所以 所以 或 .所以 是整环.
(充分性)因为 ,所以充分性同理可证.
引理1.3(环的扩张定理)   设 为环的单同态,且 ,则存在环 ,使得 为环 的子环,且 .
证明:作集合
 

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