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创建时间:11-07

弦截法及Steffensen方法的收敛速度及计算效率

 

目  录

中文摘要 .......................................................................i
英文摘要 ......................................................................ii
目录 .........................................................................iii
第一章    三种常见数值解法及其原理 .............................................1
1.1  前言 .................................................................1
1.2  Newton法求解非线性方程 ...............................................2
1.3  弦截法求解非线性方程 ..................................................4
1.4  Steffensen法求解非线性方程 ...........................................5
第二章   三种常见数值解法收敛速度比较 ...........................................7
     2.1  收敛速度的定义 ........................................................7
     2.2  Newton法、弦截法、Steffensen方法收敛速度的分析 .......................7
     2.3  结论 ..................................................................8
第三章   三种常见数值解法计算效率的比较 .........................................9
     3.1  计算效率的定义 ........................................................9
     3.2  Newton法、弦截法、Steffensen方法计算效率的分析 .......................9
     3.3  实例演示及结论 ........................................................9
第四章   Steffensen迭代法在MATLAB上的实现 ....................................11
第五章   总结 ..................................................................13
致谢 ...........................................................................14
参考文献 .......................................................................15

 
第一章  三种常见数值解法及其原理

1.1  前言
在许多实际问题中,常常会遇到方程 求解的问题。当 为一次多项式时, 称为线性方程。对于非线性方程,由于 的多样性,求其根尚无一般的解析法可以使用,而且并非所有方程 都能求出精确解或解析解,因而研究非线性方程的数值解法是十分重要的。迭代方法是知道根的初始近似值后,进一步把根精确化,直到达到所要求的精度为止。迭代法是计算数学中的一种重要方法,用途很广,求解线性方程组和矩阵特征根时也要用到它。这里结合非线性方程的迭代法求解,介绍一下它的基本原理:
迭代法的基本定理就是构造一个迭代公式,反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列,数列中每个元素都是方程的近似值,只是精度不同[1]。
迭代法求解方程 时,先把方程等价地变换成 ,移项得出:
                             ,                                         (1.1)
若函数 连续,则称(1.1)为迭代函数。用它构造出迭代公式:
                        ,                                 (1.2)
从初始值 出发,便得出迭代序列:
                      ,                                   (1.3)
如果迭代序列(1.3)收敛,且收敛于 ,则由(1-2)有:
                   .
可见 便是方程 的根。


                     图1.1  迭代法的几何表示
其几何意义为[2]:解方程 可以等价地变换成求解 ,如图1.1所示,就等于求曲线 和 交点 的坐标 。求迭代序列(1.3),就等于从图中出发,由函数                             
 得出 ,代入函数 得出 ,再把 的 坐标 代入方程 得出 ,如此继续下去,便可在曲线 上得到一系列的点 , , ,  , 这些点的坐标便是迭代数列 它趋向于方程 的根 ,数列的元素就是方程根的近似值。数列的收敛就等价于曲线 和 能够相交于一点。迭代法需要反复运算迭代公式,其中经常使用的方法有Newton法、弦截法、Steffensen方法等。

1.2  Newton法求解非线性方程
Newton法就是从函数曲线上的一点出发,不断用曲线的切线代替曲线,求得收敛于根的数列的一种迭代方法。它是把方程线性化的一种近似方法,用函数 的切线代替曲线产生一个收敛于方程根的迭代序列,得到方程的近似根。
把函数 在某一初始值 点附近展开成泰勒级数:
         ,             
取其线性部分,近似地代替函数 可得方程的近似式:
           ,
设  ,解该近似方程可得:
                             ,
把函数 在 附近展开成泰勒级数[3],取其线性部分替代函数 ,设  ,得:        
 ,
如此继续下去,就可以得到牛顿迭代公式:


                       图1.2   Newton法的几何表示
由此得出的迭代序列 在一定的条件下收敛于方程根 。
Newton法的几何意义非常明显[4]。如图1.2所示,过 点作曲线 的切线,其方程为 。设切线与x轴的交点为 ,则                                                            
  再过 作切线,与x轴交点                            
 如此不断作切线,求与x轴的交点,便可得出一系列的交点 ,它们逐渐逼近方程的根 。
综合上述,Newton法收敛很快,而且可求复根,但是它对重根收敛较慢,要求函数的导数一定存在。

1.3  弦截法求解非线性方程
用Newton法解非线性方程 ,虽然在有较高的收敛速度,但需要计算 。但是很多时候 的导数都不存在,就不能用Newton法解题了,如果用不计算导数的迭代方法,往往只有线性收敛的速度。下面就介绍弦截法,它就不需要函数一定存在导数,它主要的思想是通过已知的两点求得下一个近似值,这类方法是建立在插值原理基础上的,即采取在迭代过程中不仅用前一步点 处的函数值,而且还使用点 处的函数值来构造迭代函数,这样做能提高迭代的收敛速度。
设非线性方程 ,其中 为 上的连续函数,且 .设 为 的根 的两个初始近似值,过 作一直线[5],其方程为:

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