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创建时间:01-23

庞加莱以及庞加莱猜想


 

摘  要: 本文首先介绍了十九世纪法国数学家庞加莱的生平,接着对"庞加莱猜想"的背景及解决过程进行了较为详细的介绍.最后从数学家们在整个庞加莱猜想的证明过程中所做出的努力说明了从事科学研究所必须具备的学术素养和精神品质.
关键词:庞加莱;庞加莱猜想;庞加莱猜想证明过程的人文意义.

Poincaré and Poincaré Conjecture
 

Abstact : This paper introduces the 19th-century French mathematician Poincaré's whole life, and then the background of the " Poincaré Conjecture" and the process of settling are also interpretted in details. Lastly, from the efforts that mathematicians made in proving the Poincaré Conjecture,suggest the importance of the academic qualities and mental quality in scientific research.
Keywords : Poincaré; the Poincaré Conjecture; humanistic significance of proving the Poincaré Conjecture.
 

1引言

上个世纪末,数学家怀尔斯(Andrew Wiles)解决数论上高悬三百多年的重要猜想—「费马最后定理」(Fermat’s last theorem).最近,一个拓扑上的最重要问题—「庞加莱猜想」(Poincaré conjecture),也在提出近百年后,在这个世纪初被攻克了.俄国数学家佩雷尔曼(Grisha Perelman)和美国数学家汉米尔顿(Richard Hamilton)是解决「庞加莱猜想」的最大功臣.
 2006年8月,四年一度的国际数学家大会(ICM)在西班牙马德里隆重举行.「庞加莱猜想」的验证,是这场盛会中最令人振奋及众人的焦点所在.正如大家所预期的,帕瑞尔曼获得了素有数学界诺贝尔奖之称的「菲尔兹奖」(Fields Medal),这个奖每四年才颁发一次,而且得奖者年龄必须在40岁以下.然而,帕瑞尔曼不仅没有出席本次的国际数学家大会,还史无前例地拒绝接受「菲尔兹奖」,引起众人许多错愕及遗憾.   
「庞加莱猜想」,是法国数学家庞加莱(Henri Poincaré)在1904年,所提出的一个关于三维流形的重要猜想.这个猜想是20世纪带动拓扑学研究及发展的主要动力,百年来数学家前仆后继、不屈不挠,在不断尝试的过程中,逐渐累积了我们对拓扑学更深一层的了解.  
世纪之交,「庞加莱猜想」依旧名列数学上最重要的未解问题之一,数学家史梅尔(Stephen Smale,费尔兹奖得主)在1997年将它纳入「下个世纪18个重要数学问题」,这个猜想也是美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute )悬赏百万美金的七大名题之一.这七大千年难题 是:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题;霍奇(Hodge)猜想;庞加莱(Poincare)猜想;黎曼(Riemann)假设;杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口;纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性;贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想.
「庞加莱猜想」的解决,依赖三十多年来在几何分析领域中所发展及累积的知识及技巧,而为了解决这个问题所发展出处理奇异点的新方法,也极有可能会在新世纪中,对研究其他具奇异点的重要问题,产生突破性的影响.  
数学家们在10年中目睹了两个史上著名难题接续被解决,不禁要臆测是否数学界将进入一个百花齐放的黄金时期,我们正热切期盼着这个新纪元的到来. 
下面让我们共同来回顾庞加莱猜想的整个发展历程.
庞加莱猜想让我们从庞加莱说起.

 

2庞加莱其人
2.1 生平
一位数学史家曾经如此形容亨利·庞加莱(Henri Poincare) :“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个.
庞加莱,法国数学家.1854年4月29日生于法国南锡.
庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家,几代人都居住在法国东部的洛林.庞加莱从小就显出超常的智力,他智力的重要来源之一是遗传.他的双亲智力都很高,他的双亲又可追溯到他的祖父.他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职,1817年在鲁昂定居,先后生下两个儿子,大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲.
庞加莱的父亲里昂·庞加莱(1828-1892)是当地一位著名医生,并任南锡大学医学院教授.他的母亲Eugénie Launois (1830-1897)是一位善良、才华出众、很有教养的女性,一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上.庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物:雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统;吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长,负责中等教育工作.
庞加莱的童年主要接受母亲的教育.他的超常智力使他成为早熟的儿童,不仅接受知识极为迅速,而且口才也很流利.庞加莱特别爱好读书,读书的速度快得惊人,而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住.
也许是天妒英才,5岁时口齿伶俐的庞加莱患上了白喉,毁坏了他的喉咙,断送了他的口才,致使他的思想不能流利表达出来,而且自此以后,他变得体弱多病起来.他行动笨拙,物理实验做不好是出了名的.他的视力也很差,戴着眼镜也看不清黑板上的字,全凭耳朵听,好像是心不在焉的样子.不过,这却锻炼了他的记忆力,以后他竟然能在头脑里完成数学计算和论文的撰写.庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣,《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象.他对自然史的兴趣也很浓,历史、地理的成绩也很优异.他在儿童时代还显露了文学才华,有的作文被老师誉为“杰作”.
庞加莱l862年进入南锡中学读书.初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异,但并没有对数学产生特殊的兴趣.对数学的特殊兴趣大约开始于15岁,并很快就显露了非凡才能.他的数学老师将他描述为"数学怪兽".从此,他习惯于一边散步,一边解数学难题.这种习惯一直保持终身.他在南锡学校呆了11年,每门功课都是优秀生.他在法国学校的顶级学生中举行的竞赛开放式竞赛中赢得了几次一等奖.他最差的功课是音乐和体育,那些功课上他被称为"最多中等".但是,视力不佳和经常心不在焉可以解释这些困难.1871年他从学校毕业拿到理科学位.
1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业.法国被战败了,法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领.为了了解时局,他很快学会了德文.他通过亲眼看到的德军的暴行,使他成了一个炽热的爱国者.
     1871年3月18日,巴黎无产者举行了武装起义,普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火,庞加莱又继续上学了.1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖,从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取.据说,在南锡中学读书时,他的老师就誉称他为“数学巨人”.高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”,一方面要考出他的数学天才;另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演.
1873年,庞加莱进入法国综合理工大学(École Poly technique).他在那里学习数学,师从厄尔米特,成绩依然优秀,并于1874年发表了第一篇论文(Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface)  .他毕业于1875年或1876年.然后继续求学于南锡矿业学校, 准备当一名工程师.但他却缺少这方面的勇气,且与他的兴趣不符.在学习矿业工程课程的同时继续学习数学并于1879年取得普通工程师学位. 
与此同时,庞加莱正在厄尔米特的指导下准备他的数学理科博士学位.他的博士论文属于微分方程领域.庞加莱设计了一种研究这些函数属性的新方法.他不仅面对决定这些方程的积分的问题,也是第一个研究它们的普遍几何属性的人.他意识到它们可以用于太阳系内自由运动的多体的行为的建模.
庞加莱于1879年从巴黎大学毕业.1881年任巴黎大学教授,主讲力学与实验物理学课程.
33岁当选法国科学院院士.
1912年6月26日,庞加莱猝死于心肌梗塞,年仅58岁.

2.2 多产的数学天才
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域,最重要的工作是在分析学方面.他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878).他引进了富克斯群和克莱因群,构造了更一般的基本域.他利用后来以他的名字命名的级数构

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