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创建时间:01-23

平行曲面上测地线的性质

目 录

  中文标题‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
中文摘要和关键词‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
英文标题‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
英文摘要和关键词‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
1 引言‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.1  曲面‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ (2)
1.2  曲面的第一基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.3  曲面的第二基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.4  曲面的第三基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(3)
2 平行曲面‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(3)
2.1  平行曲面的定义‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(3)
2.2  平行曲面的基本性质‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(4)
2.3  平行曲面的第一﹑二基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(6)
3 曲面上的测地线‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(11)
3.1  曲面上曲线的测地曲率‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(11)
3.2  曲面上的测地线‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(11)
4 平行曲面上的测地线的性质‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(12)
4.1  平行曲面的测地曲率‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(12)
4.2  平行曲面上的测地线的性质‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(14)
5 结束语‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(20)
参考文献‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(20)
致 谢 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(21)


1 引 言
    1.1 曲面
    设D 是平面R 中的一个区域,它的坐标为( ),而空间R 中的坐标是 .如果从D 到R 的可微映照f表示为
 ( )=( ( ), ( ), ( )), ( )∈D        (1.1)
其中 ( ), ( ), ( )都是 的可微函数,那么 ( )的轨迹构成了R 中的一个曲面S,而(1.1)称为曲面S的参数方程, 称为曲面S的坐标或参数.有时我们也可直接把曲面S的参数方程简写成向量函数的形式:
            =  ( ).
在《微分几何》 的曲面论的学习中,我们对曲面的性质有了一定的了解.而这些性质对于我们研究平行曲面的性质有很大的帮助,所以现在我们先一起回顾曲面中的一些基本性质和它的第一、二、三基本形式.

1.2 曲面的第一基本形式:
             
它的系数
                  ,       ,      ,    
它们称为曲面的第一基本量,也称为曲面的内蕴量.且曲面上曲线的弧长﹑曲面上两个方向的交角以及曲面域的面积都可以用E,F,G来表示.

1.3 曲面的第二基本形式
    曲面的第二基本形式是为了研究曲面在空间中的弯曲性针对C 类曲面而引进的曲面的基本形式.它表示为
             Ⅱ=    = 
它的系数
                   ,      ,      ,
L,M,N称为曲面的第二基本量.
另一方面,对关系式   =0进行微分,便得
                  +    =0
有此得出
              Ⅱ=     =-    
所以就得到第二类基本形式的另外一种表示形式
                   -     , -     =-     , -     

1.4曲面的第三基本形式:
                  Ⅲ= 
其中
      ,       ,      ,
并称它们为曲面的第三基本量( 为曲面的法向量).
    下面我们就来利用曲面的这些条件来讨论平行曲面.

2 平行曲面
2.1 平行曲面的定义
定义 设一个曲面 ,如果 是由自 上的点起,在法线同一侧所取定长线段的端点所组成,则称 为 的一个平行曲面.
也就是说,一个曲面 
                =  ( )
取它的单位法向量 同一侧长度为 的点组成曲面 
                    
此时 就是 的平行曲面.
    由定义可知 的参数方程为
                     
在上式中, 已知,且法向量 只与 有关,所以平行曲面 的方程也只与 有关.这样平行曲面 用向量函数的形式可写成
               .
 例1 求圆柱面 的平行曲面的方程.
      解:圆柱面 :
 
                = 
                = 
 

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