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创建时间:01-23

平行曲面上曲率线的性质

目 录

  中文标题‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
  中文摘要和关键词‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
英文标题‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
英文摘要和关键词‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(1)
1 引言‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.1  曲面的概念‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.2  曲面的第一基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.3  曲面的第二基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
1.4  曲面的第三基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(2)
2 平行曲面的定义﹑方程及基本性质‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(3)
2.1  平行曲面的定义﹑方程‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(3)
2.2  平行曲面的基本性质‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(3)
2.3  平行曲面的第一﹑二基本形式‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(5)
2.4  平行曲面的法曲率‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(10)
2.5  曲面上的主方向和曲率线‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(11)
3 平行曲面上的主方向和曲率线‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(11)
3.1  平行曲面上的主方向‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(11)
3.2  平行曲面上主方向的判别定理‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ (13)
3.3  平行曲面上曲率线的定义及方程‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ (14)
3.4  平行曲面上曲率线的性质‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(17)
4 结束语‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ (19)
参考文献‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ (19)
致谢 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(20)

  平 行 曲 面 上 曲 率 线 的 性 质

摘 要
文章在曲面的基础上介绍了平行曲面的基本概念,通过曲面的平行曲面的方程,总结出了平行曲面的一些基本性质,证明了平行曲面上曲率线的一些相关性质和结论.
 关键词:平行曲面;曲率线;主方向
         

           The properties of a line of Curvature in Parallel surface
                           


                                       ABSTRACT


  The article introduced some basic concepts of parallel surface on the foundation of surface,summaried some basic properties of parallel surface by means of the equation of parallel surface,and reached some properties and conclusions about lines of curvature.
Key words:Parallel surface;a line of Curvature;Principal direction

1 引 言
在《微分几何》 中研究了曲面及曲面的一些性质,讨论了曲面上曲率线的相关性质和结论,书中还谈到了曲面上曲率线在实际中的应用,但在其他一些实际应用中,如CAD中加工曲面时,刀位点的确定必须利用到曲面的离散化平行曲面的数据.因此平行曲面的一些基本性质对于实际应用也有着非常重要的作用.本文即在曲面的基础上研究平行曲面的一些基本性质,并着重讨论了平行曲面上曲率线的相关性质.

    1.1 曲面的概念
       给出平面上一初等区域 , 中的笛卡儿坐标是 , 经过上述映射 后的象为曲面 ,对于空间的笛卡儿坐标系来说, 上的点的坐标是 ,这样我们可以具体写出 的解析表达式:
    ,       
    ,           
称为曲面 的参数表示或参数方程, 和 称为曲面 的参数或曲纹坐标.
我们有时也把曲面的参数方程简写成向量函数的形式:
             ,      
1.2曲面的第一基本形式:
              
它的系数   ·  ,  ·  ,  ·   
称为曲面 的第一类基本量.
1.3曲面的第二基本形式:·
             · 
它的系数        ·  · 
             ·  ·  · 
             ·  · 
并称  ﹑ ﹑ 为曲面 的第二类基本量. 
1.4曲面的第三基本形式:
                 
其中   · ,  ·  ,   · 
并且称 ﹑ ﹑ 为曲面 的第三类基本量.

2 平行曲面的定义﹑方程及基本性质
    2.1  平行曲面的定义及方程 
给定一个曲面 ,如果 是由自 上的点起,在法线同一侧所取定长线段的端点所组成,则称 为 的一个平行曲面.
换句话说,即:给定曲面 : ,,取单位法向量 同侧上长度为 的点组成平面 ,此时 就是 的平行曲面.
前面我们用向量函数的形式表示曲面,即:
              ,      
由平行曲面的定义可得到 的方程:
                      
此方程中,长度 已知,法向量 也只与 ﹑ 有关,所以平行曲面 的方程只与 ﹑ 有关,可以写成:
                      
2.2 根据曲面与平行曲面的定义,我们可以得出平行曲面与曲面之间的一些基本关系即平行曲面所具备的一些基本性质:
性质1:若曲面 与 平行,则 与 平行.
性质2:平行曲面 与 在对应点的切平面平行.
下面对这两个性质进行证明
先证明性质1:给定曲面 :
                    
对于它的平行曲面 :
                   ﹦ 
有:
                   · 
                   · 
而平行曲面的单位法向量 :
                  ﹦ 
                     ﹦1,即: · ﹦1
                     · ﹦0                                ﹙1﹚
                  · ﹦0                                ﹙2﹚
又因为
                  · ﹦ · ﹦0
所以                                                            ﹙3﹚
                                                            ﹙4﹚
由﹙1﹚﹑﹙2﹚﹑﹙3﹚﹑﹙4﹚有:
 ∥      ,   ∥      ,   ∥    
而                       ∥  
所以 
     ﹙   ﹢      ﹢    ﹢      ﹚∥ 
即:
                  ∥ 
因为 ﹑ 同为单位法向量
 

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