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创建时间:01-23

浅谈n阶行列式的计算方法


 
前言


行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识,本文对行列式的解题方法进行总结归纳。
我们可以这样来理解行列式,它是在实数(复数)的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言,我们可以发现它的二个基本特征,当行列式是一个三角形行列式(上三角或下三角形行列式,对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式)时,计算将变得十分简单,于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性,即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示,于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法,即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如:加边法、降阶法、数学归纳法、拆行(列)法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法,如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的,作为行列式与其它知识的联系,特别是多项式、矩阵的密切关系,我们将得到一些其它的方法,这将在文中一一讨论。
 

1 预备知识

定义1   n级行列式
                                                       (1)
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
                                                             (2)
的代数和,这里 是1,2,…,n的一个排列,每一项都按下列规则带有符号:当 是偶排列时,取正号,当 是奇排列时,取负号。这一定义可以写成
   =               (3)
这里 表示对所有n级排列求和。
                 
性质1   行列互换,行列式不变。即
          =  
性质2   一个数乘行列式的一行(或列)等于用这个数乘此行列式。即
          =  
性质3   如果某一行(或列)是两组数的和,那么这行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行(或列)以外全与原行列式的对应行(或列)一样。即
 =  +  
性质4   如果满足下列条件之一,则行列式为零。
(i)有两行(或列)成比例;
(ii)有一行(或列)元素全为零。
性质5   把行列式的倍数加到另一行,行列式不变。
性质6   对换行列式中两行(或列)的位置,行列式反号。
性质7   三角形行列式的值
(i)上(或下)三角形行列式
 = =  
(ii)非主对角的三角形行列式
  = =  
性质8    设 ,则 可按某一行(或列)展开,即
          (i) ;
          (ii) 。
           其中 表示元素 的代数余子式。

2 行列式的计算方法

1  化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。
例1计算如下行列式的值:
 
[分析]显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的,根据行列式的性质,先从第n-1列开始乘以-1加到第n列,第n-2列乘以-1加到第n-1列,一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。
解:
 

2   按行(列)展开法(降阶法)
设 为 阶行列式,根据行列式的按行(列)展开定理有
 
或  
其中 为 中的元素 的代数余子式
按行(列)展开法可以

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