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创建时间:01-23

浅谈多目标规划及解法


                                       
摘 要:本文对多目标规划问题的解决方法进行了归纳和总结,并且进行了一定的评论。基本方法有主要目标法、分层序列法;评价函数法,理想点法、线行加权和法、平方和权法;功效系数法。特别地介绍了一种关于线性多目标规划求最优解的方法。通过归纳和总结,熟知各解决方法的特点,以便以后在实际中能够得到更好的应用。并且给出了一种新的评价函数。
关键词: 多目标规划;解决方法;弱有效解;算法
On multi-objective programming and Its Solution
Abstract: This article has carried on the induction and the summary to the multi-objective programming, and has carried on the certain commentary. The main method has the primary-object method,Lexicographic method,evaluation function methods,robustness estimate,linearity weighted sum method, involution weighted sum method efficiency coefficient method .Specially introduced one kind of method of optimal solution about muti-objective linear programming. Through the induction and the summary, knows very well each solution the characteristic, in order to later in will be actual can obtain a better application. And has produced one kind of new evaluation function.
Keywords: multi-objective programming; solution; weak efficient solution; algorithm
前 言
实际生活中,常常会遇到需要考虑多种因素的优化问题。譬如某工厂生产一批货物,当然要考虑尽可能的节约成本;同时,由于顾客要求,又想尽快的完成任务,而且还必须保证货物的质量;最后,由于该地区电力供应方面的原因,还希望尽量的节约电能。对于这一类具有多个目标函数的优化问题,如果线性规划的目标函数是单目标,就不适合复杂多变的经营管理中综合多指标的实际要求。例如,上面的例子中企业生产计划中就包括有产量、质量、利润、交货期等多项指标组成一个指标体系,均要全面完成,而且这些指标的度量单位不同,各个指标的重要程度也因企业不同、时间不同、环境不同而相异,线性规划就难以给出符合实际的答案。此外,线性规划的约束条件刚性太强,缺乏柔性,这些问题是线性规划难以解决的,需要用多目标规划加以解决。
线性目标规划 是数学规划论中用与解决多目标问题的一个分支,是针对线性规划只能寻求单目标最优的局限性发展而来的。1961年,美国的查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.Cooper)首次提出了“目标规划”这一名称及偏差变量和满意解等有关概念。1955年,尤吉。艾吉里(Y.Ijiri)提出了对多目标划分等级 ,用优先因子来处理多目标问题,建立了求解线行目标规划的单纯形法,为目标规划在以后的应用和发展奠定了基础。后来斯。姆。李(S.M.Lee)与杰斯开莱尼(V.Jaaskelainen)又对目标规划进行了完善改进,使目标规划在实际应用方面比线行规划更广泛,更为管理者所重视。
多目标规划是要求多个决策变量取最优解的数学规划。多目标规划(Solving Linear Multiobjective Programming, 简称VP)现已成为数学规划的一个重要分支,在资源管理、生产调度、资本预算、货物分配、超大规模集成电路设计等方面都得到了广泛应用。对于多目标规划,目前尚无一种成熟而准确的求解方法。现有的方法,或是将线性规划的思路套用过来,或是将其转化为单目标线性规划问题。本文将对线行规划问题的解法进行初步归纳,其中包含主要序列法、线性加权法、理想点法、功效系数法和在弱有效解中求最优解法。


 


1 有关多目标规划的基本概念
1.1 标准形式 
多目标规划(Solving Linear Multiobjective Programming)是指具有两个或两个以上目标函数的规划问题。一般的,考虑 个变量 ,记做:
  ,
 个约束条件 ,记做:
  ,
 个目标函 记做:
  ,
则可以不失一般性的将:
      
称为多目标的标准形式。其中 , ,
   。
特别地,目标函数和约束函数均为线性函数的线性多目标规划问题(简记 ),形式如下:
 
     
其中   ,   ,    , =    ,  均为实数,另外对固定的 ,  不全为 , 为 维欧氏空间。
采用如下记号:
  ;           ;
 为  的可行域; 为 的边界。设   ,     , 并规定:
 的充分必要条件是:    ; 的充分必要条件是   ; 的充分必要条件是   但至少存在一个 ,使 。类似地,可以定义 , 。
1.2 多目标规划的解 
可行解:满足一多目标全部约束条件的变量的一组值称为该多目标规划的可行解。可行解的全体称为可行解集,记为 。
绝对最优解:如 ,且对任 均有   ,则称 为绝对最优解。
绝对最优解的全体称为绝对最优解集,记为 。
有效解:    如 ,且不存在 ,使F(x)  则称 为有效解。
有效解的全体称为有效解集,记为 。
弱有效解:  如 ,且不存在 ,使F(x)  则称 为弱有效解。
弱有效解的全体称为弱有效解集,记为 。
单目标的最优解:记 为:
   
的最优解集。

2 基本方法 
2.1 主要目标法 
在所有的 个目标函数,若根据具体问题的实际含义,确定一个只要目标,而将其它的目标在一顶的允许界限内当作约束条件来处理,这样就把原来的多目标问题转化为一个以主要目标为目的的单目标规划。
不妨设 为主要目标,而对其余目标,给
 

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