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创建时间:01-23

浅谈勒贝格积分

目 录
前言    1
1 黎曼积分    2
1.1 黎曼积分和定义    2
1.2 黎曼可积的必要条件    2
1.3 黎曼积分的可积准则    2
1.4 黎曼积分的思想说明    3
1.5 黎曼积分的可积函数类    3
1.6 黎曼积分的局限性    4
2 测度的引入    6
2.1 新划分    6
2.2 新划分中的一个问题    7
2.3 “测度”概念的推广思考    7
2.4 外测度的定义    8
2.5 外测度的基本性质    9
2.6 内测度的定义    12
2.7 新问题的出现与解决    13
3 勒贝格可测集和勒贝格测度    15
3.1 勒贝格可测集的定义    15
3.2 勒贝格可测集的封闭运算    15
3.3 勒贝格测度的性质    16
3.4 勒贝格可测集类    19
4 勒贝格不可测集    22
4.1 在 上构造不可测集的思想    22
4.2 在 上构造不可测集的思想    22
4.3 一个 上的不可测集的例子    23
5 结束语    24
6 参考文献    25
 
关于测度

 

摘要

本文主要通过说明黎曼积分的局限性,引入一种新的划分,导出勒贝格测度的概念,继而重点讨论勒贝格测度的性质。最后总结勒贝格可测集类和介绍构造勒贝格不可测集的方法。

关键字:黎曼积分;勒贝格测度;可测集;不可测集


About Measure

 

Abstract
In this paper, the limitation in the application of  the Riemann integral is pointed out, and
the Lebesgue Measure is educed by introducing a new partition, and the Messurable Set and the Unmeasured Set are mainly discussed. In the end, the method to construst a Unmeasured Set in  is obtained. 
Keywords: Riemann integral; Lebesgue Measure; Messurable Set; Unmeasured Set

 
前言

 “实变函数”是数学与应用数学专业的一门重要专业基础课,是“数学分析”中微积分理论的发展与深化,同时也是学习“泛函分析”的重要基础。“实变函数”之所以这样的重要是因为它的主要研究内容是测度与Lebesgue积分,这就将“数学分析”中研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数类上。这样就使微积分的理论得到在一个更为宽松的条件下进行讨论与应用。从而让它能够在数学的其他分支及许多其他科学技术领域中都有着直接的应用。
通过学习“实变函数”将使我们受到更为严格的数学训练,思维能力产生一个大的飞跃,分析处理问题的思想方法更加灵活与细致。但是,就是因为“实变函数”的与众不同使得它概念性强、内容抽象、推理严谨、逻辑周密使我们学习起来比较困难,思路难以展开,解题难以入手。
那么这样的问题该如何解决呢?
古人言:“九层之台,起于垒土”。想学好“实变函数”就必须从它的基础内容出发。而测度概念的引入与理解正是把“数学分析”与“实变函数”相连接的重要阶段。对于初学者来说正确深刻地理解它是将来能不能学好“实变函数”的关键!
为了解决这个问题,帮助将来的初学者更快更深刻的理解“实变函数”和“数学分析”的本质不同点,从而学好“实变函数”。本文将由数学分析中的黎曼积分入手,分析其局限性。继而较细腻的介绍测度概念,引出勒贝格测度的概念及其性质,最后再对不可测集稍加讨论。相信本文对“实变函数”的初学者而言将会有一定的帮助。

 
1 黎曼积分

1.1 黎曼积分的定义:
设 是定义在 区间上的有界函数,在 上任取 ,将 划分成 个小区间,再在每一个小区间 上任意取一点  ,作和式
              .
如果存在常数A,使得对任何 ,都有相应的 ,只要分点组 满足 ,对 的任意取法,都满足 ,那么我们就说 在区间 上是黎曼可积的,称这个数A为 在区间 上的黎曼积分。并且把它记为
 
另外地,我们把 称为被积函数, 称为积分变量, 称为积分区间, 、 分别称为这个积分的下限和上限。

1.2 黎曼可积的必要条件
若函数 在 上可积,则 在 必定有界。(见参考文献[7])

1.3 黎曼积分的可积准则:
在上面的定义中如果我们将第 个小区间 上函数值 的上确界和下确界分别记作 和 即
 ,
    ,
又记 称 为 在区间 上的振幅,我们说
 在区间 上黎曼可积的充要条件是对任何 ,都有相应的 ,只要 ,就有
 

1.4 黎曼积分的思想说明
有了黎曼积分的定义和黎曼积分的可积准则,现在我们可以直观的来回顾一下黎曼积分的主要思想。
定理 1.4.1: 如果函数 是个非负值的函数,函数 在区间 上的黎曼积分值A其实就是x轴,直线 及曲线 所围得的曲边梯形的面积(图1-1)。而和式 就相当于把这个曲边梯形分成 个狭长条的曲边梯形,而且把这每一个狭长条的曲边梯形面积各用一个小矩形的面积来代替,而这些小矩形面积之和就是 ,而当分法越来越精细的时候, 将趋近于这个曲边梯形的面积。
 

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