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浅谈坐标法在解析几何中的应用

目录

中文题目··································································(1)

中文摘要、关键词··························································(1)

英文题目··································································(1)

英文摘要、关键词·························································(1)

前言·······································································(3)
正文·······································································(4)
1 坐标法解决中学解析几何中的问题··································(4)
1.1 轨迹方程问题·····················································(5)
1.2 范围问题··························································(6)
1.3 最值与定值问题···················································(7)
1.4 位置关系问题·····················································(8)
2坐标法解决地形展绘精度问题········································(9)
2.1 测绘方法及步骤···················································(9)
2.2 计算程序·························································(10)
2.3 地形点展绘·······················································(10)
2.4 误差分析与比较··················································(10)

结束语····································································(11)

参考文献·································································(12)

致谢······································································(13)

附录······································································(14)

浅谈坐标法在解析几何中的应用
  
摘要


本文介绍了解析几何的创建、发展和应用。解析几何的基本方法——坐标法在中学几何中的应用。以及在大比例尺地形测绘中,结合计算器,用坐标法展绘地物点,大大提高展绘精度。
关键词:解析几何;坐标法;坐标展绘;误差
 
    
前言

十六世纪以后,由于生产和科学技术的发展,天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如,德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上;意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动。这些发现都涉及到圆锥曲线,要研究这些比较复杂的曲线,原先的一套方法显然已经不适应了,这就导致了解析几何的出现。
解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何。
平面解析几何的基本思想有两个要点:第一,在平面建立坐标系,一点的坐标与一组有序的实数对相对应;第二,在平面上建立了坐标系后,平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到,运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
在平面解析几何中,除了研究直线的有关性质外,主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质。
在空间解析几何中,除了研究平面、直线有关性质外,主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
椭圆、双曲线、抛物线的一些性质,在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面,灯丝在一个焦点上,影片门在另一个焦点上;探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
总的来说,坐标法可以解决解析几何的两类基本问题:一类是满足给定条件点的轨迹,通过坐标系建立它的方程;另一类是通过对方程的讨论,研究方程所表示的曲线性质。

 
解析几何的出现是与它的基本方法——坐标法的发现紧密相联系的。
所谓一个点的坐标是指这样一些数,由它们可确定此点在一给定的直线上,或者一给定的平面(乃至一曲面)上,或者一给定的空间中的位置。所以,如果我们知道在地球表面上一点的地理坐标——纬度和经度,我们就可以知道此点在地球表面上的位置。
为了得到一个点的坐标,我们必须知道一些参考点,由这些参考点出发进行测量。对于地理坐标的情形,赤道和零子午线上的点皆是参考点。
如果给定了参考点,并且也指出了用这些参考点求出确定一个点的位置的数,即坐标的方法,那么我们就说,给定了一个坐标系。
通过方程描述几何图形是坐标法的一个特有的性质,同时它又使得代数方法能够被应用于进行几何学的研究和求解几何问题。
坐标法使几何学的研究具有代数的特性后,就将代数学的最重要的特点——求解问题的方法的统一性转移给了几何学,在算术和初等几何中,通常人们不得不寻找解决每一个问题的特殊方法,但是在代数和解析几何中,是以一个共通的方案为依据来求解所有的问题,而这个共通的方案对任何一个问题都是很容易适用的,可以这样说,解析几何相对于初等几何与代数相对于算术,它们所处的地位是相同的。坐标法的主要的重要性在于,为了求解问题它把原来属于代数的方法转移给了几何学,从而有了很多共同之处。不过,应该告诫读者,不要完全拒绝初等几何的应用。因为在很多情形中,它帮助我们得到漂亮的解题方法,这些方法比用坐标法获得的解法要简洁得多。坐标法的另一显著特点在于,应用它我们可以避免急于作出一个复杂的空间图形的直观图像。
在坐标概念的实际使用中,我们常将研究的对象设想成为一个点,此对象的坐标可能只是近似地给出。一个对象的给定的坐标,意味着被这些坐标描述的点是这个对象中的某一个点,或者是非常接近于这个对象的一个点。
运用坐标法解决问题的步骤是:首先在平面上建立坐标系,把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程;然后运用代数工具对方程进行研究;最后把代数方程的性质用几何语言叙述,从而得到原先几何问题的答案。
坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题,一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。

2.1 坐标法解决中学解析几何中的问题
解析几何以坐标系为桥梁,将点用坐标表示、线用方程表达,进而达到用代数方法研究平面图形性质之目的。因此,解析几何的根本方法当属坐标法,此种方法已成为高考考查的核心。坐标法的实质就是借助于点的坐标,运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译转换成若干数量关系;运用坐标法的一般

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