涉及两个空间的Ky Fan不等式的集值转变及应用

摘要: 在本文中, 我们给出了一些集值映射的Ky Fan极大极小不等式的一些转变形式, 这些集值映射取值于实赋范空间而作用于不同拓扑向量空间. 据此, 我们得出了一个变分包含解的存在性的充分条件. 并且，证明了Lindeloff 空间下的Ky Fan匹配极小极大不等式.
关键词: 集值映射; Ky Fan极大极小不等式; 变分包含; 匹配极小极大不等式  .
 
1    引言

1961年, Ky Fan [1]把KKM理论扩展到了无限维的情况, 我们就称之为Ky Fan引理, 即:
Ky Fan 引理:设X是一个Hausdorff 拓扑向量空间, K是X的一个非空子集,  是一个闭值集值映射且有以下的性质:
(1) 存在一个 使得集 是紧的;
(2)  F是一个KKM 集值映射(即: 对任意有限集合 , 则 
则                                
其中 是  的凸包.
后来他用这种转变形式阐述了他的极大极小不等式 [2]. 从那以后, 许多应用和理论被建立. Blum和Oettli在 [3] 中首次称这种不等式问题为“平衡问题”, 那就是, 寻找 使得
 成立.
其中X是一个给定的集合， 是一个给定的函数. 点 我们就称之为平衡点. 他们搜集了许多例子来表明平衡问题的重要性. 这包括一些特殊情况如: 最优化理论, 鞍点理论, Nash平衡, 相补和变分不等式, 不动点理论, 广义力学问题.
在[4]中. Browder研究了上述广义平衡问题的一些特殊情况, 准确的说, 他提出了下面的变分不等式问题: 找到一个元 使得
 
其中X是一个拓扑向量空间E的一个凸子集,  是一个连续算子,  是E的对偶.
以上的变分不等式可以写成下面的形式:
 
这样,Ky Fan不等式转变成集值形式从而得到多值形式的推广.
另一方面, 通过放松紧性, 闭性,凸性条件, 人们得出许多Ky Fan 引理和极大极小化不等式的推广形式.
在本文中, 我们给出了一些集值映射的Ky Fan极大极小不等式的一些转变形式, 这些集值映射取值于实赋范空间而作用于不同拓扑向量空间. 据此, 我们得出了一个变分包含解的存在性的充分条件和Ky Fan匹配极大极小定理.

2  预备知识

首先，我们回顾一些概念和基本事实. 
设Z和Y是拓扑空间,  是一个具有非空值的集值映射.
定义2.1 设 是一个集值映射
(1) F在 称为上半连续的在(在点z上usc), 当且仅当对 的任意邻域 ,  使得对任意的 ，我们有 .
(2) F在 上称为下半连续的(在点z上lsc), 当且仅当对任意 和Z中任意序列( ) 收敛于z,存在序列 收敛于y.
(3) F在Z上是上（下）半连续的, 如果F在每一点 是上（下）半连续的.
(4)实值函数F在Z上是连续的, 如果它既是上半连续的又是下半连续的.
设 , M是Y的一个子集, 我们记
 
 
子集 称为对F的M的逆, 而子集 被称为对F来说M的核.
命题2.2  设 是一个带有闭值的集值映射, Y 是一个紧致Hausdorff 拓扑空间, 那么F是上半连续的当且仅当在 上F的图 是闭的.
我们需要下面的F中上（下）半连续的性质.
命题2.3  一个非空集值映射 在Z上是上半连续的当且仅当闭集的逆 是闭的;在Z上是下半连续的当且仅当闭集的核 是闭的.
设K是向量空间X上的凸集,  是一个集值映射.
命题2.4  实值映射F被称为在K上凸的(凹的), 当且仅当对 和 
 
根据集值映射凸(凹)性的定义, 我们可以得到:
命题2.5  F在K上是凸的当且仅当对所有 和 和对所有        ，
使得                      

3  主要结果

下面的结论由Cheng在1997年给出.
引理3.1 设E, G是两个Hausdorff拓扑向量空间,  是一个任意的集合,  是一个映射,  是一个非空闭值映射, 使得满足:
(1) 存在 使得集合 是紧的
(2) 对任意有限集合 
则