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创建时间:08-29

凸函数的基本性质及应用

 

摘 要

本文主要讨论了凸函数的基本性质及应用.首先,给出了凸函数的一般性定义,并讨论了凸函数的基本性质.在此基础上给出了平方凸函数的定义,紧接着讨论了平方凸函数的基本性质,并进一步讨论了平方凸函数与凸函数之间的内在联系.最后讨论了凸函数的基本性质的应用.
关键词: 凸函数; 平方凸函数.                                                

The Fundamental Properties and Applications of Convex Function 
 
ABSTRACT

The fundamental properties and applications of convex function are discussed in this paper. First, the generalized definitions of convex function are given and  it’s properties are studies. Moreover, the definitions and properties of  square convex functions are studies also.  From this,  the relationships  of convex function and square convex functions are discussed. Finally, we give some applications on the fundamental properties  of convex function. 
Keyword:  Convex function; Square convex function.
    

前 言
 
凸分析和非光滑分析是20世纪60年代至80年代相继发展形成的现代数学分支.凸函数是凸分析中重要的研究对象之一,它研究的内容非常丰富,研究的结果在非线形最优化、多目标决策、最优控制、对策论、变分学、逼近理论以及数理经济等领域得到广泛应用.研究此课题主要是为了讨论清楚凸函数和平方凸函数的基本性质以及二者之间的内在联系,并能运用凸函数的基本性质来解决一些相关的数学应用问题.
本文主要讨论了凸函数的基本性质及应用.首先,给出了凸函数的一般性定义,并讨论了凸函数的基本性质.在此基础上给出了平方凸函数的定义,紧接着讨论了平方凸函数的基本性质,并进一步讨论了平方凸函数与凸函数之间的内在联系.最后讨论了凸函数的基本性质的应用.
由于毕业论文写作时间较短,加之本人水平有限,其中难免存在不妥和错误之处,且理论并非很完善,恳请老师给予谅解和批评指正.

1 凸函数的定义及基本性质

1.1 凸函数的定义
设 为线性空间.                                                                          
定义 1.1.1  设 是非空凸集, : 是实值函数.                                            
( )若对任意的  (0,1),有
 (  +(1- ) )   ( )+(1- ) ( )     ,   ,
则称 是集合 上的凸函数(凸泛函),或函数(泛函) 在 上是凸的.
(  )若对任意的  (0,1),有
 (  +(1- ) )   ( )+(1- ) ( )      ,   , ( )   ( ),   则称 是集合 上的严格凸函数,或函数 在 上是严格凸的.                        ( )若对任意的  (0,1),有  
            (  +(1- ) )  ( )+(1- ) ( )    ,  S,   ,               则称 是集合 上的强凸函数,或函数 在 上是强凸的.
若- 是 上的凸函数,则称 是 上的凹函数,或 在 上是凹的.若- 是 上的严格(强)凸函数,则称 是 上的严格(强)凹函数,或 在 上是严格(强)凹的.
从定义1.1.1 易知,若 是 上的强凸(凹)函数,则 必为 上的凸(凹)函数和严格凸(凹)函数,但反之不然.换言之,强凸(凹)函数是凸(凹)函数和严格凸(凹)函数的一种特殊情形.因此,凸(凹)函数和严格凸(凹)函数不一定是强凸(凹)函数.举个例子来说明一下,函数 ( )= 不仅是凸的且为严格凸的,但却不是强凸的.                                     定义1.1.2  设 ( )为集合   上的函数,若对任意的 ,   和  [0,1]有
                     (  +(1- ) )   (x)+(1- ) ( )                 (1)      则称 ( )为 上的下凸函数.若不等式(1)反向不等式成立,则称 ( )为 上的上凸函数. 通过比较定义1.1.1 和定义1.1.2 ,不难发现,定义1.1.1 中的凸函数其实就是定义1.1.2 中的下凸函数,定义1.1.1 中的凹函数其实就是定义1.1.2 中的上凸函数.                     
1.2 凸函数的基本性质
在此先给出一般凸函数的两个基本关系定理.
 

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