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创建时间:11-13

一类具有阶段结构的SI模型的数值模拟


 
摘要
传染病已对生物界构成重大威胁与危害。因此,揭示传染病的传播机理,探讨预测与控制的手段,具有十分重要的意义。通过建立数学模型,利用MATLAB数学软件进行图形模拟是研究传染病的一种十分重要的方法。本文研究了一类成年种群具有疾病而幼年种群不具有疾病的SI模型,将该SI模型利用MATLAB数学软件进行数值模拟,研究SI传染病模型的全局性态,并将数值模拟的结果与定性分析的结果进行比较分析。通过对方程内部各个常量系数值的不同赋值得到不同的结果,比较分析结果的含义,得出SI模型是稳定的,从而证明了原理论研究结果的正确性。
关键词:局部稳定性 时滞 全局吸引 SI传染病模型
 
A class structure of the SI stage of the numerical simulation model

  

Abstract
Infectious diseases have been posing a major threat and hazard on the biologic circle. Therefore, it is of great significance to reveal the mechanism of the spread of infectious diseases by the means of forecast and control. One of the important methods is to use graphics software MATLAB to conduct numerical simulation through the establishment of mathematical models. This paper intends to make a study on the SI model of one type become adult a kind a cluster to have disease but childhood kind cluster not to have disease. The major steps are to use the MATLAB mathematical software to simulate the figures, to investigate the overall of the SI epidemic model. So the data processing advantage of numerical simulation contributes to more intuitive results. Through the constant equation of the internal value of all the different assignment get different results, comparative analysis of the results of the meaning of that SI model is stable, thus proving that the findings of the original theory is correct.
Key words: local stability; delay; global attractively; SI epidemic model
 

目  录
中文摘要 ……………………………………………………………………………………………I
英文摘要……………………………………………………………………………………………II
目录 ………………………………………………………………………………………………III
第一章  绪论 ………………………………………………………………………………………1
1.1  传染病研究的历史背景与特点 ………………………………………………………1
1.2  数值模拟方法的历史背景与特点 ……………………………………………………2
1.3  本文结构 ………………………………………………………………………………2
第二章  研究工作的基础与方法 …………………………………………………………………3
2.1  问题的提出 ……………………………………………………………………………3
2.2  模型的建立 ……………………………………………………………………………3
第三章  数值模拟方法的运用 ……………………………………………………………………5
3.1  龙格-库塔-芬尔格(Runge-Kutta-Fehlberg)方法 ………………………………5
     3.2  应用举例 ………………………………………………………………………………5
     3.3  模型的数值模拟 ………………………………………………………………………6
         3.3.1  常数的确定 ……………………………………………………………………6
         3.3.2  实验步骤 ………………………………………………………………………7
第四章  数值模拟的结果分析……………………………………………………………………11
4.1  模型数值模拟的结果分析……………………………………………………………11
4.2  数值模拟结果与理论研究结果的比较分析…………………………………………11
第五章  研究的意义………………………………………………………………………………12
致谢…………………………………………………………………………………………………13
参考文献……………………………………………………………………………………………14

 
第一章  绪  论

1.1  传染病研究的历史背景与特点
传染病病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。病原体中大部分是微生物,小部分为寄生虫,寄生虫引起者又称寄生虫病。随着社会经济的发展和人民生活水平的提高,影响人类健康的传染病仍然是威胁人类健康的第一大手。  由于生物性的致病原于人体外可存活的时间不一,存在人体内的位置、活动方式都有不同,都影响了一个感染症如何传染的过程。为了生存和繁衍,这类病原性的微生物必须具备可传染的性质,每一种传染性的病原通常都有特定的传播方式,例如透过呼吸的路径,某些细菌或病毒可以引起宿主呼吸道表面黏膜层的型态变化,刺激神经反射而引起咳嗽或喷嚏等症状,藉此重回空气等待下一个宿主将其入,但也有部分微生物则是引起消化系统异常,像是腹泻或呕吐,并随着排出物散布在各处。透过这些方式,复制的病原随患者的活动范围可大量散播。从卫生部公布的全国法定报告传染病疫情中就能看出端睨。2014年全国甲、乙类传染病发病总数为318万多例,死亡7151例。发病数居前5位的病种为:肺结核、乙型肝炎、痢疾、淋病、甲型肝炎,占发病总数的85.01%,死亡数居前五位的病种依次为:狂犬病、肺结核、乙型肝炎、艾滋病、新生儿破伤风,占死亡总数的
82.65%。像近段时间正在流行的手足口病是婴儿和儿童的一种常见疾病,卫生部也已在2018年5月2日决定,将手足口病列入传染病防治法规定的丙类传染病。尽管从中央到地方各级政府和
卫生管理、医疗部门采取一系列重大措施加以防治,但每位公民从自身做起,主动健康和主动防治是必不可少的。为了让我们自己、家人、朋友幸福安康,为了社会的进步与发展,让我们人人都行动起来,关注传染病,远离传染病,营造和谐的健康家园。
通过建立数学模型对传染病进行定性和定量的研究是一种十分重要的方法,并且已经取得了很多好的结果。用传染病动力学的方法对传染病进行理论性的定量研究,能更好地从疾病的传播机理方面反映疾病的流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态,对传染病的预防和控制提供理论基础和数量依据。文献[2]、[4]、[5]、[6]、[8]、[9]都是一些对模型的定性分析,像常微分方程模型和捕食者—食饵种群的SIS模型。文献[2]建立并分析了捕食者有病的生态—流行病SIS模型,文献[4]主要是针对具有Holling—型功能性反应的捕食者食饵种群SIS模型的定性分析,文献[5]对疾病仅在食饵种群传播的有比例依赖的捕食—被捕食系统的动力学进行了分析,得出了染病食饵种群可以充当一个生物控制量,以抑制种群的灭绝的结论,文献[6]用数学方法研究传染病的发病机理,动态过程和发展趋势,定性分析了无种群动力具有正比传染率传染病的常微分方程的模型,文献[8]研究了一类具有一般形式非线性饱和传染率染病年龄结构SIS流行病传播数学模型动力学性态,得到了疾病绝灭和持续生存的阈值条件,文献[9]主要是对具次线性功能反应函数的食饵-捕食者模型利用线性化方法和李亚普诺夫第二方法,Dulac-Poincare定理和环域定理,张芷芬的惟一性定理进行了定性分析。文献[1]、[11] 、[12],都是对SI 模型进行定性分析的。文献[1]研究了一类成年种群具有疾病而幼年种群不具有疾病的SI传染病模型,文献[11]研究了一类描述具有扩散的传染病模型的偏微分方程组,建立了一类易感者和感染者都具扩散SI传染病模型,得到了解的有界性及传染病能否传播的阈值,文献[12]主要是对一类具有两个阶段结构的SI传染病模型进行了分析,得到了传染病最终消除和成为地方病的阈值。

1.2  数值模拟方法的历史背景与特点
数值模拟作为传染病动力学数学建模与研究的辅助方法已被研究者所使用,越来越多的学者开始将Maple、Matlab等功能强大的计算机软件引用到科学研究上来。作为第四代计算机语言的MATLAB,利用其丰富的函数资源,使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。MATLAB最突出的特点就是简洁。MATLAB用更直观的,符合人们思维习惯的代码,代替了C和 FORTRAN语言的冗长代码。MATLAB给用户带来的是最直观,最简洁的程序开发环境。文献[3]介绍了MATLAB运用的预备知识,以及将如何用MATLAB解常微分方程,解常微分方程的方法作了示范和分析,文献[7]就是Matlab在数据处理和数值模拟中的应用,介绍了实验数据处理用到的公式的Matlab语言的编写和MATLAB的功能函数lsqcurvefit,polyfit等的应用,以及将计算机数值模拟程序和自动求解微分方程的ode45函数的运用作了示范,文献[10]主要研究了运用MATLAB对微分方程组的仿真方法,利用SIMULINK建立仿真模型,给出了仿真结果图,进行了一阶、二阶微分方程解的仿真探索,文献[13]将Matlab中常微分方程初值问题的求解方法,求解命令,命令格式的运用,积分参数的设置和ODE文件的编写等方面做了剖析。

1.3  本文结构
本文的第一章绪论部分介绍了传染病研究的历史背景与特点以及数值模拟方法的历史背景与特点,并对文献中涉及到的内容进行了阐述;文章的第二章主要介绍了研究工作的基础与方法,并提出了本文将要研究的问题以及建立了相应的数学模型;在文章的第三章介绍了数值模拟方法的运用,将本文需要用到的龙格-库塔-芬尔格(Runge-Kutta-Fehlberg)方法进行了简单的阐述,并列举了一个利用MATLAB方法解常微分方程的例子为下面的模型数值模拟作了示范。在最后部分我们对模型进行了数值模拟,根据实验步骤得到了图象;在第四章我们对模型的数值模拟结果进行了分析,并将结果与理论模型分析的结果进行了比较,得到了我们想要得到的结论;第五章主要讨论了本文的研究意义。

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