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重点论文网    理科论文    信息与计算科学论文    伴随矩阵性质及应用
创建时间:11-13

伴随矩阵性质及应用

摘     要

矩阵的伴随矩阵在矩阵理论中有着重要地位. 本文从伴随矩阵的基本性质出发 ,探讨伴随矩阵更深刻的特征及性质 , 进一步讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵,并加以证明,从而拓宽解决线性代数问题的思路.

关键词:  伴随矩阵 矩阵的秩 矩阵的逆 幂等矩阵 正交矩阵
 

More Properties of Adjoint Matrix

 

Abstract
The matrix adjoint matrix has the important status in the matrix theory  This article embarks from the adjoint matrix basic nature, adiscussion adjoint matrix more profound characteristic and the nature, A further discussion on  the adjoint matrix: the rank,the reversibility,the eigenvalue,the adjoint  matrix of an adjoint matrix,and adjoint matrices of some special matrices, thus opens up the solution linear algebra question the mentality.


Keywords:adjoint matrix; the rank of matrix; inverse matrix; idempotent matrix; orthogonal  matrix
 
目  录
中文摘要    Ⅰ
英文摘要    Ⅱ
目录    Ⅲ
第一章     引言     1
1.1  伴随矩阵的定义    1
1.2  伴随矩阵的基本性质    2
第二章     伴随矩阵性质的推广     4
2.1  伴随矩阵秩的性质    4
2.2  伴随矩阵特征值的性质    5
2.3  特殊矩阵的伴随矩阵的性质    9
第三章     伴随矩阵性质的应用     12
致谢    17
参考文献    18
 
第一章    引言
1.1  伴随矩阵定义
张肇炽教授在《一个常用矩阵命名的记法与商榷一文》中指出,许多中文数学文献中,对两个意义完全不同的矩阵都使用“伴随矩阵”这一名称.第一种情况是把矩阵 的伴随矩阵定义为由A的元素 的代数余子式 所构成的矩阵 :
                             (1)
第二种情况则把矩阵A的伴随矩阵定义为 的共轭转置矩阵 :
                            (2)[1]
而我们所讨论的伴随矩阵是第一种情况下的伴随矩阵
故设 是 阶方阵, 的伴随矩阵定义如下:
定义1设 是 阶方阵 的元素 的代数余子式,则 阶方阵
   ,其中 , 称为 的伴随矩阵.[8]

1.2  伴随矩阵的基本性质
性质一: .
性质二: 若可逆,则 =  .
性质三: 设 为n(n>1)阶方阵,则 ,k为常数.
证明:由伴随矩阵的定义可知 中的元素即 中的各个元素 的每个元素附以因子k,由于 (i,j=1,2,…,n)是n-1阶行列式,故 的元素为 .
性质四: = .
证明:当 可逆时,由(2)可得
 = = = 
当 不可逆时,  = 0,所以 :
若 ;
若  ,
综合以上,总有 
性质五:若 可逆,则 .
证明:由(2)知
 = 
 
       所以    
性质六: .
证明:(法一)设
 

 

其中 (i,j=1,2, ,n)是A中元素 的代数余子式.
又设
 
其中 是A中 第i行第j列元素 在 中的代数余子式,i,j=1,2, ,n;
由于 在A中的代数余子式与 在 中的代数余子式互为转置行列式,故 
从而 
(法二)由(2)知
 .[8]   
性质七:若A可逆, .[7]  
性质八:若 当 时,则 .
证明:用反证法, 假设 ,则 .
      设A的n个行向量分别为 ,即
 
      则 ,且
 .
于是 ,故 ,即A=0,
这与假设 矛盾,故 .
 

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