Taylor展式在近似计算中的应用

 
目  录

中文题目………………………………………………………………………………………1

中文摘要、关键词……………………………………………………………………………1

英文题目………………………………………………………………………………………1

英文摘要、关键词……………………………………………………………………………1

前言……………………………………………………………………………………………2

正文……………………………………………………………………………………………3

1  展式的一些概念………………………………………………………………3
1.1 泰勒展开定理…………………………………………………………………3
1.2 泰勒级数………………………………………………………………………4
1.3 泰勒公式的余项………………………………………………………………4
1.3.1 佩亚诺型余项…………………………………………………………4
1.3.2 积分型余项……………………………………………………………5

2 利用泰勒展开求函数的近似值………………………………………………………6
2.1 近似计算公式的推导…………………………………………………………6
2.2 一般近似计算…………………………………………………………………7
2.3 求逼近多项式…………………………………………………………………8

3 利用泰勒展式求积分…………………………………………………………………9
3.1 泰勒展式求定积分……………………………………………………………9
3.2 求积公式的误差………………………………………………………………10
3.2.1 梯形公式的误差………………………………………………………11
3.2.2 公式的截断误差………………………………………………11

4 利用泰勒展式求微……………………………………………………………………13
4.1 一阶公式………………………………………………………………………13
4.2 高阶公式………………………………………………………………………14

5 利用泰勒展式求解微分方程 ………………………………………………………16
5.1 泰勒展式在 尤拉方法中的应用 ………………………………………16
5.1.1 相关公式………………………………………………………………16
5.1.2 应用举例………………………………………………………………16
5.2 泰勒展式在 方法中的应用 ………………………………… 17
5.2.1 泰勒展开法……………………………………………………………17
5.2.2 二阶 方法  ……………………………………………18
5.3 泰勒展式在线性多步法中的应用……………………………………………19

参考文献………………………………………………………………………………………22

致谢……………………………………………………………………………………………23

摘  要

    本文讨论泰勒展式在近似计算中的应用，这些应用包括Taylor展式在求函数近似值、数值积分、数值微分、解常微分方程、误差估计等方面的具体应用．
关键词：泰勒展式；近似计算；定积分；误差估计 

The Applications of Taylor Expansion in Approximation Computation

ABSTRACT

In this paper, We discuss the applications of Taylor expansion in approximation computation which include applications of finding approximation of a function, solving the ordinary equation, numerical integral, numerical derivative, and error estimates by using Taylor expansion.
Key words: Taylor expansion; approximate computation; numerical integral; error estimates

前  言

 展式是微积分学中的一个重要的内容，在函数值的近似计算、数值积分、数值微分、常微分方程数值解、误差估计等方面都起着重要的作用．本文讨论 展式在近似计算中的重要应用．
本文第一节介绍了 展式、 级数及其余项的一些概念；第二节讨论了如何用 展式求函数的近似值，并进行误差估计．第三节讨论 展式求数值积分,并讨论了如何用 展式导出梯形公式及 公式的误差估计式；第四节讨论 展式对数值微分的应用；第五节讨论 展式在微分方程数值解中的应用，具体论述了如何用 展式导出后退的 公式的截断误差、 公式及线性多步法计算公式．

1  Taylor展式的一些概念
1.1 泰勒展开定理
泰勒定理 若函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在 内存在 阶导函数，则对任意给定的 ，  至少存在一点 使得
 
                                       （1.1）
其中 ，
     ，称为拉格朗日型余项．
特别地，取 ，得
 ，     
这个公式称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式．
泰勒展开定理 函数 在点 处的泰勒级数在点 的邻域 内收敛于 的泰勒公式中的余项 
即 
 
             （1.2）
                                                         （1.3）
称 的右边为 在 处的泰勒展开式（或称幂级数展开式）
证明：记（1.2）的部分和为
 
于是（1.2）在 中成立，等价于 
或即                            但另一方面由
 
                     
知       或即     
所以上面这个条件也就是（1.3）．

1.2 泰勒级数
若函数 在 处具有任意阶的导数，则形式为
 
                             
的级数为函数 在 的泰勒级数．
特别地，取 时，有
 + ，
称为麦克劳林级数．

1.3 泰勒公式的余项
1.3.1佩亚诺型余项：
若函数 在点 存在直至 阶导数，则在 的近旁成立：
      即    
    
                       
其中 称为泰勒公式的余项，行如 的余项称为佩亚诺型余项．
特别地，取 ，得
                 
这个公式称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林公式．
1.3.2 积分型余项：
若在[ ]上 有 阶连续导函数，则有
 
                                          （1.4）
这是推广的分部积分公式，下面应用公式（1.4）导出泰勒公式的积分型余项．
设函数 在点 的某领域 内有 阶连续导函数，令 ， ，
 ，利用（1.4）式得
 
                      
                        
 
其中 即为泰勒公式的 阶余项，由此求得
                             （1.5）
这就是泰勒公式的积分型余项．由于 连续， 在 （或 ）上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理，可将(1.5)式写作
 
其中  ，此式为拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于（1.5），则得
        ，    
由于
 ，
因此又可进一步把 改写成为
 ，                   (1.6)
特别当 时，又有 ，                (1.7)
公式（1.6）、（1.7）称为泰勒公式的柯西型余项．