无质量标量波在Garfinkle Horowitz Strominger dilaton黑洞背景时空中的散射

目  录

中文摘要 ……………………………………………………………………………………………………1
1 引言   ……………………………………………………………………………………………………1
2 计算微分散射截面   ……………………………………………………………………………………1
  2．1 径向方程的求解  …………………………………………………………………………………1
  2．2 用分波法计算微分散射截面………………………………………………………………………3
3 总结 ………………………………………………………………………………………………………7
参考文献 ……………………………………………………………………………………………………8
英文摘要 ……………………………………………………………………………………………………8
致谢 …………………………………………………………………………………………………………9
 
无质量标量波在Garfinkle Horowitz Strominger dilaton  
黑洞背景时空中的散射
 
                 
摘要：本文对Garfinkle-Horowitz-Strominger dilaton 黑洞背景时空中无质量标量波的Klein-Gordon方程分离变量，分别得到角向方程与径向方程.其中角向方程的解是球谐函数.采用近似方法得到了径向方程的解.并利用分波法求出了微分散射截面.
关键词：标量波; 黑洞; 分波法; 微分散射截面. 

1．引言
    一般认为黑洞是大质量恒星演化到晚期塌缩[1]或者是宇宙极早期致密介质涨落导致的引力不稳定性而形成的.还有人认为黑洞可由实验室高能重离子碰撞产生或由高能宇宙线与物质（如地球大气或致密星）的碰撞产生[2].黑洞是天体物理研究的前沿热点,在天体物理中扮演重要角色,很多天体物理事件都与黑洞有关,如AGN（active galactic nuclei,活动星系核,它的典型特征是星系中心的高光度和星系尺度的高速喷流）,以及某些X-射线双星.目前认为它们有着相同的机制——即黑洞的吸积.只不过引起AGN喷流的黑洞是星系中心的超大质量黑洞,而X-射线双星的喷流是由恒星质量黑洞的吸积过程产生的（如天鹅X-1）;γ-暴（γ-bursts,其能量释放的激烈程度仅亚于宇宙的创世大爆炸）也可能与黑洞有关[3-6].类星体的能源机制也可用星际气体落入黑洞时产生的辐射来解释.黑洞还对宇宙的暗物质有所贡献,虽现已肯定暗物质的主要成分不是黑洞,甚至根本不是为我们通常所知的核子物质.由于一系列天体物理事件都与黑洞有关,因此确认黑洞的存在就显得极为重要.但由于光线无法从黑洞表面逃逸,我们不能直接观测到黑洞,而只能通过其强引力与周围物质作用产生的效应来间接地推断其存在.比如X-射线双星,其X-射线源是不可见星,它的质量又大于Chandarsekhar极限,我们基本上可以断定不可见星是黑洞.除了吸积过程产生的强X-射线,黑洞还能产生强电磁散射.Mashoon曾提出通过一个黑洞的双星系统探测这种散射[7-8].反过来也可以通过散射来确定黑洞的存在,就类似于Rutherford散射证实了原子中存在一正电荷密集区——原子核.背景时空中的强电磁散射也意味着存在质量密集区——很有可能是黑洞.
    广义相对论框架中的黑洞散射问题已为许多作者计算过,例如N.K.Kofinti 计算了无自旋黑洞的散射[9],A.B.Gaina用半经典近似计算了带电粒子被R-N黑洞的散射[10].还没有人在弦理论框架下研究黑洞散射,本文研究弦理论中Garfinkle-Horowitz-Strominger dilaton 黑洞的散射.
 
2．计算微分散射截面
2．1 径向方程的求解
   Garfinkle-Horowitz-Strominger dilaton 黑洞由以下度规给出[11]
              （1）  其中 , 是dilaton场的渐进值,M是质量（Mass）,Q是磁荷(Magnetic). 
描述弯曲时空中无质量标量场的场方程由Klein-Gordon方程给出[12]
□                                    （2）
将度规（1）式代入Klein-Gordon方程,可得到 
                       （3）
设（3）式的解具有形式
                 
代入（3）式分离变量得到
                                （4）
                 （5）
（4）式的解是球谐函数 ,下面求解径向方程（5）.
令 ,于是（5）式可写为
                                  （6）
     设 ,则
          
    将上式代入（6）式,得
                              （7）
    把 , , 代入（7）式得  
           （8）
    将中括号中的各项都按 展开
                                 （9）
    令 ,并且忽略 项,（9）式可化为：
                                                   （10）
    将方程化为此形式后，可以看到它和球坐标下薛定谔方程分离变量后得到的径向方程类似,其中 相当于 , 相当于 [13].因此可采用类似的方法求解.
    令 ,（10）式化为
                                 （11）
    再做代换 ,则上式可写成如下形式:
                                          （12）
    方程（12）是合流超几何方程，其在 点邻域解析的解为合流超几何函数.具体求解过程可参见[14]
                                （13）
    所以径向方程（5）的解为
                                   （14）
2．2 用分波法计算微分散射截面
    欲用分波法求出散射截面,先要计算出第 分波的相移 ,而要求出 需知道波函数（14）式在无穷远处的渐进行为.为此利用合流超几何函数的渐进展开式[14],当 为纯虚数, 时
            
    可求出
                            （15）
    令                                           （16）
    则                                          （17）
                                                 （18）
    利用上三式可把（15）式化为
            
    又当 时， 
    因此径向波函数在 时的渐进表达式为
        
                      （19）
    上式中 中的 是自由粒子的渐进式中的相位, 则是势 的长程性而引起的额外相移,与 无关, 即是第 分波的相移,其值由（16）式给出.