周期结构中声学波的色散关系

目录
摘要…………………………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………………………………1
前言……………………………………………………………………………………………………………1
1 一维原子链中声学波的色散关系…………………………………………………………………………2
1.1一维单原子链中声学波的色散关系…………………………………………………………………2
1.2一维复式原子链中声学波的色散关系………………………………………………………………3
2 二维晶格中声学波的色散关系…………………………………………………………………………5
2.1二维单原子晶格中声学波的色散关系………………………………………………………………5
2.2二维异种原子晶格中声学波的色散关系……………………………………………………………7
3晶体中声学波的色散关系……………………………………………………………………10
3.1 体材料中声学波的色散关系………………………………………………………………………10
3.2.A-B型周期结构中声学波的色散关系……………………………………………………………12
3.3含缺陷层的A-B型周期结构中声学波色散关系……………………………………………………15
结束语………………………………………………………………………………………………………17
参考文献…………………………………………………………………………………………………17
致谢词………………………………………………………………………………………………………18

周期结构中声学波的色散关系
 
摘要:本文详细讨论了一些周期结构的色散关系。首先，根据牛顿力学定律讨论了一维原子和二维原子的色散关系，接着根据固体理论讨论了A-B型周期结构和含有缺陷层的A-B型周期结构中声学波的色散关系。
关键词：超晶格；格波；声学声子；色散关系；周期结构；
The dispersion relations of Acoustics phonon In periodic structure
 
Abstract: Some dispersion relations of acoustic in periodic structure are studied in detail in the article.Firstly, the dispersion relations of acoustic phonon dispersion relations are studied in Unidimensional and Two-dimensional atomic periodic structure by Newtonian mechanics. Secondly, dispersion relations of acoustic phonon in A- B periodic structure and the macro- surface dispersion relations of acoustic phonon in A- B periodic structure contains defact are studied by Solids theory .
Key word: Superlattice; Lattice vibration; Acoustic phonon; Dispersion relations; Periodic structure;

前言
1970年，江崎和朱兆祥提出了一个革命性的概念[1]——半导体超晶格，自此以后，半导体低维结构的研究在凝聚物理和新一代高新技术的发展占有着极其重要的地位，在此基础上，各种微结构制造技术[2]如：分子束外延技术，电子曝光，超微细刻蚀技术，栅控维度技术等迅速发展，各种各样微结构器件能够被制造出来。这就为许多在固体材料难于观察到的量子现象的发现，新的理论模型的提出，注入了新的动力。同时，基于新原理而设计的具有广阔应用前景的新型量子器件[3]不断涌现出来，如量子阱和量子点激光器，超晶格雪崩二极管，平面型掺杂势垒光探测器和光学双稳器件等。
无论从纯科学的角度，或是从技术角度，半导体低维结构[4]都提供了一个迷人的领域，成为半导体物理一大分支；而且，这些低维结构的很多性质对很宽范围的材料包括金属，绝缘体等是类似的，从而导致这个研究领域强劲的交叉特征，越来越受到科学工作者的关注，成为当今凝聚态物理新的生长点和重要前沿领域。
半导体超晶格的晶格具有周期性，而晶格的振动模具有波的形式，称做格波。晶格振动的频率与波矢量之间的关系 ,称为格波的色散关系，也称为晶格振动谱。由晶格振动产生的色散关系有二种，一种是声学波的色散关系；另一种是光学波的色散关系．当格波的波长很长（即波矢 ）时，满足 ，或者相邻原子都沿着同一方向振动，这种格波就是声学波。晶体的许多性质都和函数 有关，可以根据共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体等在格波的谱上相应的特征进行区别。通过确定的格波色散关系，人们可以根据技术要求进行设计，改变材料的结构，从而改变材料的性质。本文将讨论包括半导体超晶格[5]在内的周期结构中声学波的色散关系。

1一维原子链中声学波的色散关系
1.1一维单原子链中声学波的色散关系[6]
考虑如图（1）所示的一维原子链，设每个原子都具有相同的质量，平衡时原子间距（晶格常数）为 。
 
图(1)  一维单原子链
由于热运动使得各个原子离开它的平衡位置，用 代表第 个原子离开平衡位置的位移，第 个原子和第 个原子间的相对位移是 。为简化起见，只考虑相邻原子的作用，并假设相互作用力是弹性恢复力，恢复力系数为 ，则第 个原子所受到的总作用力是：
              (1.1.1)
由牛顿第二定律，第 个原子质点的运动方程为
       （  ）           (1.1.2 )
设（1.1.2）的解为
                                                （1.1.3）
   为振幅， 为角频率， 为待定常量。
将式(1.1.3)代入式(1.1.2)，得到
                                     （1.1.4）

由 ，可得
                          （1.1.5）
即
                                         （1.1.6）
如果第 个和第 个原子的相位因子之差 为 的整数倍，即  （ 为整数）
则：
                                 （1.1.7）
这表明当第 个原子和第 个原子的距离 为 的整数倍时，原子因振动而产生的位移相等，晶格各个原子间的振动相互存在着固定的位相关系。这样由式（1.1.7）所代表的晶格振动可以理解为频率为 ，波长为 的平面波，这种波称为格波，其中 称为波矢。
由式（1.1.6）可知，当波长很长，即 时， 。所以，式（1.1.6）就是一维单原子链中声学波色散关系。